[Mathe] Ableitung reele Funktion; Flächeninhalt

Sir Kameldar

Palantíri-Sammler
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Guten Abend,

ich leide gerade an einem mittelschweren mathematischen Problem :c:
Und da hier schon öfter mal bei solchen geholfen wurde, melde ich mich jetzt auch einfach an.


1)

F(x) = x + ln( (x-2) : (x+2) )

Kann mir davon jemand die Ableitung erklären?

( Es müsste etwas in der Art von: f(x)= (x²) : (x²-4) rauskommen, nur leider komm ich selbst nicht darauf




2) Flächeninhalt:

f(x) = ( x³-x²-2x ) : ( x²+2x )

F(x) = 1/2 x² - 3x + 5 + 4ln(x+2)


Aufgabe:
Berechne den Inhalt der Fläche, die die Kurve Gf mit der x-Achse und den Geraden x=1 und x=5 einschließt






Wäre nett wenn mir jemand zumindest Aufgabe 1 bis heute Abend erklären könnte ( ist für ne Schulaufgabe morgen ;) )

Danke im Vorraus :up:
 

Belgarath

Rätselhexer
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Also, du willst die Funktion F(x)=x + ln [ (x-2)/(x+2) ] ableiten.

Nach Kettenregel und mit (lnx)'=1/x gilt:
F'(x) = 1 + (x+2)/(x-2) * [innere Ableitung]
wobei
[innere Ableitung] = [ (x+2) - (x-2) ] / (x+2)^2 ] = 4 / (x+2)²

Also weiter: F'= 1+(x+2)/(x-2)*4/(x+2)² = 1+4/[(x+2)(x-2)]=1+4/(x²-4)=[(x²-4) + 4]/(x²-4) = x²/(x²-4)

Voilà. Ich hoffe, es ist verständlich. Ansonsten frag einfach nach. :)
 

Silpion

Traumtänzer
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Zu Aufgabe 2:
Vermutlich hat sich ein Tippfehler eingeschlichen, was ist die Kurve Gf? Ich gehe im Folgenden davon aus, dass nur f gemeint ist, dann scheint die Aufgabe sinnvoll:

Generell ist das eine Integrationsaufgabe. Die Geraden x=1 und x=5 sind die Integrationsgrenzen. Den Flächeninhalt zwischen einer Kurve f und der x-Achse bekommst du dann wie folgt:

Berechne die Nullstellen von f (sind hier -1 und +2) und die Stammfunktion F (hast du bereits gegeben, Stammfunktion heißt einfach, dass F' = f). Die -1 liegt nicht in dem verlangten Bereich von 1 bis 5, also können wir sie vergessen. Die Nullstelle 2 ist aber wichtig. Sie teilt den Bereich von 1 bis 5 entzwei: Von 1 bis 2 und von 2 bis 5.

Der Flächeninhalt A ist nun:
A = |F(2) - F(1)| + |F(5) - F(2)|
 

Sir Kameldar

Palantíri-Sammler
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Danke für Aufgabe 1, habe ich jetzt komplett verstanden... ich hab die Binomische Formel nicht gesehen :up:



zu 2)


Gf = G(raph) von f(x) ;)

Und soweit komm ich auch komplett mit...
und mein Ergebnis ist dann " |0,349| + |1,51| = 1,86 FE "

Aber irgendwie kommt mir das spanisch vor... :rolleyes: *shameonme*
 

Magicfighter

Kämpfer/Magier
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Äh, die Stammfunktion ist gegeben oder hast du die dir überlegt?

Und ich würde die Flächen nicht einfach so addieren, sondern mir mal überlegen, ob die oberhalb oder unterhalb der x-Achse liegen:shine:

[edit]OK, die Stammfunktion stimmt - auch wenn ich vielleicht um das Argument vom ln Betragsstriche setzen würde
Für den Flächeninhalt bekomme ich dann (mit Betrag) 50,0877 raus - ist aber ohne Gewähr[/edit
 
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