Ein Ziegenproblem

[Kamiryn]

Wenn der Quizmaster nicht weiß, wo der Gewinn ist, er aber zufällig ein Tor mit dem Schaf öffnet (das nicht das Tor des Spielers ist), dann hat sich an der Situation nichts geändert. Der Spieler sollte wechseln, um seine Chance auf 2/3 zu erhöhen. Da hat David vollkommen recht.

Die Chance aber, dass dieser Fall eintritt, ist aber nur noch 4/9 (A). Zu 3/9 öffnet er das Spielertor (2/9 Chance auf Schaf (B), 1/9 Chance auf Gewinn(C)) und zu weiteren 2/9 (D) öffnet er das Tor mit dem Gewinn (das der Spieler nicht gewählt hat).

Kann der Spieler sich umentscheiden, nachdem der Quizmaster zufällig ein Tor geöffnet hat, dann sehen die Chancen so aus:

(A): das originale Beispiel: 66% bei Umentscheiden
(B): 50% bei Umentscheiden (oder automatisch verloren)
(C): 100% wenn er bei seiner Wahl bleibt (er sieht ja den Gewinn vor sich)
(D): 100% wenn er sich umentscheidet (oder automatisch verloren)

 

[David]

Nett das du mir recht gibts, wo ich selber nicht mehr sicher bin.
(siehe letzte Seite)

Betrachtet man das ganze Experiment, machts wirklich keinen Unterschied mehr, ob man wechselt oder nicht..

Mein Problem ist nur, wie es in der speziellen Situation, das der Mod eine Niete öffnet, sein kann, das nur der Geisteszustand des Mods darüber entscheidet, ob ein Wechsel sich lohnt oder nicht.
Ich mein, in diesem speziellem Fall hat sich doch nichts geändert: Ich wähle zu 1/3 den Gewinn, bekomme gezeigt, das eine der anderen Tore ne Niete ist, und darf nochmal wählen.
Die Chance, soweit zu kommen, ist halt von 100 % auf wahlweise 4/9 oder 4/6 gefallen, aber wenn es soweit ist, sollte es nach dem gesunden Menschenverstand keinen Unterschied mehr machen.

Allerdings hatte man ja auch im ersten Fall (siehe den Baum auf Wikipedia) je 2 Chance zu gewinnen oder zu verlieren, nur das da halt eben diese Chancen unterschiedlich gewichtet waren.
Wahrscheinlich läufts grade wieder darauf hinaus, das man den zweiten Tipp einfach nicht losgelöst vom ersten beachten kann, die Formalien, die zum zweiten Tipp führen, beeinflussen direkt die Gewinnchancen bei diesem zweiten Tipp.

Auf jeden Fall weiß ich jetzt wieder, warum ich Geographie statt Informatik studiere.

 

[Kamiryn]

Das Betrachten der Fälle (B) bis (D) ist eigentlich auch witzlos, zumindest unter der Annahme, das der Spieler eine zweite Chance bekommen soll, denn nur im Fall (A) macht eine zweite Chance ja wirklich Sinn.

 

[Chinasky]

David: Du hast ja mit Deiner Aufschlüsselung gezeigt, daß es falsch von mir war, Dir Recht zu geben. Hätte mich lieber auf meine Erinnerung, statt auf meinen Verstand verlassen sollen, hehe.

 

[David]

Jo, traue weder deinem Verstand noch mir.
Ich mach beides aus Prinzip nicht mehr.

Aber ich hab 2 Leute dazu gebracht, mir zu glauben, obwohl ich Unsinn erzählt hab, ich sollte doch Politiker werden.

 

[Kamiryn]

Nochmals drüber nachgedacht...

Bei zufälliger Wahl ist die Wahrscheinlichkeit tatsächlich gleich. Liegt einfach daran, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Quizmaster ein Schaf findet und dabei nicht die Spielertür öffnet, größer ist, wenn der Spieler bereits die richtige Tür gefunden hat (2/3 gegenüber 1/3). Die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler die richtige Tür hatte, ist aber nur 1/3. In 2/3 der Fälle hatte er die falsche Tür. D.h. die richtige Tür ist zu gleicher Wahrscheinlichkeit, die, die er hatte, oder die andere. Es ist also egal, wie er sich entscheidet.

 

[David]

Jupp, so klingts einleuchtend.

Im Baum sieht man ja auch, das man bei der Wahl des Gewinnes 2 Varianten hat, in die zweite Runde zu kommen (und sonst gewinnt man schon), und bei den anderen nur eine, aber dafür je 2, in denen man schon verloren hat.

 

[Theremor]

Raffiniert! Ich war drauf und dran, eine Argumentation aufzustellen, warum die Chance immer noch 2/3 beim Wechsel beträgt, wenn der Moderator nur zufällig eine Ziege aufgedeckt hat. Aber wie beim Ursprünglichen Problem kann man sich einfach anschauen, wie die entsprechende Situation zustande kommen kann:

(der Moderator öffnet in diesem Modell niemals die Tür des Kandidaten)

1. Man wählt zuerst selbst die richtige Tür (Wahrscheinlichkeit 1/3) und der Moderator wählt eine der beiden Ziegen (Wahrscheinlichkeit 100%, also 1/3*1 = 1/3
2.Man wählt eine Ziege (2/3) und der Moderator von den verbliebenden Optionen Auto und andere Ziege die Ziege (Wahrscheinlichkeit 1/2, denn es sind 2 Türen)
2/3*1/2 = 1/3

Da 1/3 = 1/3 sind die Wahrscheinlichkeiten gleich, <b>also sind die Gewinnchancen bei Wechsel oder Beibehalten der Tür 50:50</b>

edit: Also wenn Leute das Ursprüngliche Problem schon kennen, kann man sie spätestens mit der abgewandelten Form aufs Glatteis führen.

 

[Sol]

Ich hätte noch eine Frage, weil ich da etwas auf dem Schlauch stehe:

Wenn in der ersten Runde einfach eine Niete großzügigerweise ausgeschieden wird, ohne die Wahl des Kandidaten und er immer noch die gleiche Wahl zwischen zwei Türen hat, ändert sich dann etwas an der Gewinnchancenoptimierungsstrategie?

Ich frage das deshalb, weil ich mittlerweile eine mögliche Lösung bei Hanks Link durchlas und sie recht überzeugend fand, aber noch Restzweifel in mir sind, weil mein Verstand mich vermutlich trübt

 

[David]

Das wäre wieder ne neue Situation glaub ich.
Ohne Wahl des Kandidaten kann der Mod ja nicht eine Tür aufmachen, die der Kandidat nicht genommen hat, weil er seine Wahl nicht kennt.
Wenn der Kandidat nen geheimen Favouriten hatte, weil er wusste, das er das Spiel spielen wird, kanns auch wieder sein, das der Mod genau diese Tür aufmacht. Also wären wir in der Nähe von Hanks Alternative.

Würde also tendenziell auf 50:50 tippen, aber für heute vertraue ich meinem Vorstellungsvermögen nicht mehr.

 

[Thantaalis]

Also gut, ich hab da wohl falsch gelegen. Ich hab es jetzt auch verstanden. Allerdings hatte Jocelyne Lopez in ihrer Diskusion mit MontyHall auch nicht gaz unrecht.

[zitat]
Die erste Wahl des Kandidaten ist nämlich proforma und besteht für die Organisatoren nur daraus, eine Ziege aus dem Spiel erst einmal auszusortieren. Das kann der Moderator auf jeden Fall, ohne groß zu überlegen, egal welche Tür der Kandidat wählt, weil es eben zwei Ziegen gibt: Eine Ziege hat er also immer zum Aussortieren parat. Die erste Runde des Spiels ist Augenwischerei, nur Showbusiness.

Das eigentliche Spiel beginnt also erst dann, wenn der Kandidat sich zwischen den zwei übrigen vorgesehenen Preisen blind entscheiden muß: Eine Ziege und ein Auto. Und da hat er eben nur 50:50 Chance.

Aber das war ja nicht die Fragestellung...

 

[Chinasky]

@Thantaalis: Wo hat sie denn da recht? Die erste Runde ist keineswegs nur Showbusiness und Augenwischerei! Sie ist für die zweite Runde notwendig. Gäbe es die erste Runde nicht, dann ja, dann wäre die Chance fifty-fifty. Da es aber die erste Runde gab, kann sich der Spieler in der zweiten Runde entweder für eine 33%ige oder eine 66%ige Chance entscheiden.

 

[Isil-zha]

sehr amüsante Geschichte ... für alle die sich in falsche Lösungen verrennen und am Ende die richtige nicht glauben wollen möchte ich an dieser Stelle mal als Trost anbringen, dass dies auch schon hochrangigen Mathemagiern passiert ist

 

[Durin]

Mist, warum habe ich diesen thread nicht schon vorher gefunden?

Thantaalis: Wenn die erste Runde irrelevant wäre, müsste sie von der Entscheidung unabhängig sein, kann sie aber nicht sein, weil der Moderator die Ziege des Kandidaten nicht aufdecken darf.

Im Endeffekt: Du wählst ein Tor und hast eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 1/3. Nur weil ein Tor, das du nicht gewählt hast sich öffnet ändert sich daran nichts (Du könntest ja einfach Augen und Ohren zumachen und laut "Lalala ich höre nichts und sehe nichts" singen).




Aber eigendlich wollte ich noch etwas zu Fabians Roulletstrategie sagen:

Das Roulett Beispiel, mit dem immer auf die gleiche Zahl setzen, funktioniert durchaus. Das Problem ist nur das es meistens am Geld scheitert.
Theoretisch, suchst du dir eine Zahl (oder Farbe) aus und setzt immer solange auf die Zahl(Farbe) bis sie einmal kommt. Dabei verdoppelst du deinen Einsatz jedes mal, wenn deine Zahl nicht kommt.

Interesant dazu auch Maus:
mit dem Roulette hat Fabian recht, deshalb ist es in Kasinos auch verboten, den Einsatz zu verdoppeln. Wobei der Witz an der Strategie ist, dass du nicht mal diesselbe Zahl spielen musst, du musst nur die Art des Setztens (Farbe, Zahl, Reihe, etc.) bzw. die Gewinnchance gleich belassen; und verdoppeln hilft auch nicht immer, man muss das Reziproke von der Gewinnchance nehmen. Das zu Erkennen ist die Hauptaufgabe des Croupiers. Man kann das System durch häufige Tischwechsel auch umgehen, dafür ist dann die Videoüberwachung des Kasinos da.
Wobei die es wohl kaum stören dürfte, wenn du das System mit 10€ Startbetrag durchziehst. Aber bei höheren Einsätzen greifen die durch.


Ähhhm - dann gehöhrt der Kasinobetreiber in den Ruhestand versetzt, da er seinen Laden um einen statistisch sicheren Gewinn bringt. Dieses System von Fabian funktioniert nämlich eben nicht. Und da muss man nicht einmal das Limit des Spielers heranziehen, sondern nur die Mathematik (vobei das Limit des Spielers für den Casinobetreiber der Interesantere Punkt ist):

Fabian: Jup, du hast mit der Stategie eine Wahrscheinlichkeit von 1 zu gewinnen. Und bei einem Gewinn machst du netto eine Geldeinheit. Leider sind dass nicht alle Informationen, die du brauchst. Es besteht nämlich noch die Möglichkeit, das immer und immer wieder - bis ans Ende aller Tage - auf ewig und noch länger nur die Farbe kommt, die du nicht gewählt hast. Zugegeben, dieses Ereigniss hat die Wahrscheinlichkeit 0. Allerdings verliest du bei diesem Ereigniss auch unendlich viel Geld. Im Durchschnitt (auf einen "Lauf bis zum Gewinn") verlierst du also 0 * unendlich viel Geld. Und jetzt kann man nicht einfach sagen "0 mal irgendwas ist 0", denn manchmal ist unendlich auch stärker und manchmal ist sie etwa gleich stark. hier muss man den Grenzwert berechnen - und dass ist recht leicht, mit einer W. von 1/2 verliest du 1, mit W. 1/4 (also "2 mal Rot") verliest du 1+2=3, .... , mit einer W. von 1/2^n verlierst du 2^n -1. (Hier die Grün 0 ausen vorgelassen). Im Grenzwert n-> unendlich verlierst du also eine Geldeinheit - was ganz genauso viel ist, wie du im Durchschnitt mit einem Lauf gewinnst. Es bleiben also 0 Geldeinheiten übrig - und wenn man die grüne 0 doch noch mit einrechnet, dann machst du sogar Verluste.

 

[Isil-zha]

die Mathematiker wieder ... durch die grüne Null macht man an der Stelle allerdings keine wirklichen Verluste (die entstehen ohnehin nur duch Zeitbeschränkung) sondern dadurch sinkt die Gewinnwahrscheinlichkeit in jedem einzelnen durchgang ein klein wenig unter 0,5 wodurch man eventuell ein wenig länger spielen muss ...

ansonsten gehört diese Strategie natürlich eher in den Bereich theoretischer Spielereien, da sie (um die Gewinnwahrscheinlichkeit wirklich auf 1 zu bringen) unendlich viel Geld und unendlich viel Zeit erfordert ... und mal ehrlich ... jemand, der das zur Verfügung hat, geht nicht ins Casino um zu gewinnen sondern um ein klein wenig von der vielen Zeit totzuschlagen

 

[Durin]

Bitte? Ich habe das doch grade beschrieben: Die grüne Null ist eben doch wichtig, da damit das Ereigniss, das unendlich oft Rot kommt (wenn du auf Schwarz setzt) etwas wahrscheinlicher ist .... okay, immernoch 0, aber eine etwas schwächere 0, die verglichen mit dem unendlich vielen Geld, das du verlierst dafür sorgt, das du eben etwas mehr als eine Geldeinheit durchschnittlich verliest.

Recht hast du mit dem Komentar, das man mit unendlich viel Geld und unendlich viel Zeit eine Gewinnw. von 1 hinbekommt. Allerdings sollte man bemerken, dass man trotzdem, aufgrund der unwahrscheinlichen Ereignisses durchschnittlich Verlusst macht.

...Aber ja, das ist sehr theoretisch. Mir macht das Spaß.


Ein anderes Bespiel für dieses Prinzip: Du denkst dir eine natürliche Zahl (schreibst sie auf und überreichst es einem Notar. ), Und ich fange an zu raten, welche Zahl du dir ausgedacht hast. Jedes Mal, das ich falsch rate gebe ich dir eine Geldeinheit, wenn ich jedoch richtig rate, gibst du mir unendlich viele (ich würde mich mit "allen" zufriedengeben). - Da es unendlich viele natürliche Zahlen gibt ist die Chance das ich deine treffe (psychologische Tricks unbeachtet) ja 0, Umkehrereigniss, das ich deine nicht treffe ist also 1. Und dennoch: Wenn ich einfach hochzähle werde ich sie trotzdem irgendwann treffen und gewinnen.

 

[David]

Nicht 0, sondern nur annährend 0. (etwas unter 0,5 hoch x)
Das macht schon nen Unterschied, denn Unendlich mal 0 ist 0, oder habt ihr was im geldbeutel nur weil ihr nicht unendlich viel Geld habt?
Aber annährend 0 mal Unendlich ergibt nicht Null, obs gegen Unendlich oder Null strebt, hängt davon ab, welche Tendenz stärker ist.

 

[Sol]

Man kann "0*Unendlich" nicht auf eine herkömmliche Art und Weise berechnen, sodass 0 herauskäme dabei. So nach dem Motto: "Hab ich ja schon in frühster Kindheit gelernt, dass alles, was mit Null multipliziert gleich 0 ist." Aber "Unendlich" ist nicht vergleichbar mit einer Zahl!
Praktisch wird man aber zu "0*Unendlich" keine Versuchsreihe machen können, denn ich kenne recht wenige unsterbliche Menschen zur Zeit und so schnell wird sich daran wahrscheinlich nichts ändern...

 

[Isil-zha]

David, wie Durin oben ausgeführt hat ist "0*inf" eben NICHT null ... sondern kann abhängig von der null und dem inf eigentlich jede beliebige Zahl sein, wenn du lust hast, kannst du ja mal den Grenzwert von sowas wie sqrt(n)*(sqrt(n+a)-sqrt(n+b)) ausrechnen für n->infinity

außerdem ist das x in 0.5^x nicht endlich ... da stecken die ganze Zeit Grenzbetrachtungen drin

Durin ... würdest du dieses Spiel auch noch mit reellen Zahlen spielen? ... abzählbare Mengen sind ja totaler Mist, denn wenn man einfach durchzählen kann hat das Experiment ja nix zufälliges mehr ...

 

[Sol]

Am besten wäre immer noch die Kombi lR u lI dann gäbe es noch ein paar Zahlen mehr

Wobei ich mir jetzt auch nicht sicher, bin ob die Bezeichnung passt und die vereinigte Menge nicht schon einen besonderen Namen besitzt...