1+1=2 - Wie sieht der mathematische Beweis aus?

[Chinasky]

Ja, meine Fragestellung ist schon im Topic-Titel enthalten. Ist ein Mathematiker unter Euch, der mir beweisen kann, daß 1+1=2 ergibt, bzw. mir einen Link zum entsprechenden Beweis geben kann? Mir hat vor Jahren mal ein Mathematik-Student einen solchen Beweis vorgelegt, den ich damals allerdings nicht kapierte. Ich werde es wohl auch heute nicht kapieren, wüßte aber dennoch gerne, wo ich diesen Beweis finden kann.

 

[Caesar]

http://www4.in.tum.de/~webertj/dsm/html/node26.html Sowas?

Ich verstehe kein Wort, aber vielleicht hat Isil morgen Zeit und erklärt das mal. Isil kann sogar Ingenieuren Mathe erklären

 

[Theron]

Warum denken sich Menschen so ein Unsinn aus? 1+1 ist eben 2, fertich aus, man braucht kein Erzmagier sein um das zu wissen.

 

[Hexe Lisa]

Ich finds lustig ein Axiom mit Axiomen zu beweisen. Zum Glück bin ich Naturwissenschaftler.

Edit: Ich würd's über die normale Algebra erklären: 1+1 = 2 x 1 (addition -> Multiplikation) und da 1 das neutrale Element der Multiplikation ist 2 x 1 = 2 :P

 

[Gala]

Natürlich ist 1+1=2.

Bei diesen Beweisen gehts nicht so sehr darum, das nachzuweisen - das weiß auch ein Mathematiker, der ja hoffentlich ebenfalls über einen Alltagsverstand verfügt - sondern darum, wie man die natürlichen Zahlen definieren kann.

Genauer: es ist ein Optimierungssystem: wieviele Axiome benötige ich minimalerweise, um die natürlichen Zahlen definieren zu können.

Auf der Basis solcher minimaler Axiomensysteme versucht man dann eben, so grundsätzliche Dinge wie 1+1=2 zu beweisen. Gelingt das nicht, ist das Axiomsystem ein wenig gar zu minimal.

 

[Hexe Lisa]

@Gala: Solange ich mir nicht mehr die Beweise antun muss, ob Null jetzt eine natürlliche Zahl ist oder nicht.

Edit: Wobei der Beweis (die Beweise), dass 0exp0 = 1 wenigstens noch sinnvoll

 

[Drake]

Beweise gabs doch schon in der Grundschule genug 1 Apfel + 1 Apfel = 2 Äpfel. Ihr könnt esauch gerne mit Birnen versuchen .

 

[Scybalon]

Sorry for Spam

 

[Chinasky]

@Caesar: Danke! Vielen Dank! Grund für meine Frage war, daß ich an anderer Stelle über Naturwissenschaften diskutiere, in denen bekanntlich keine Aussage bewiesen werden kann, sondern gültige Theorien statt dessen (nach Popper) den Anspruch der prinzipiellen Falsifizierbarkeit erfüllen müssen, ohne aber bislang falsifiziert zu sein. Während man naturwissenschaftlich also nichts beweisen, sondern nur belegen kann (weil man beim Versuch des Beweisens im Münchhausen-Trilemma stecken bleibt), ist dies in der Mathematik und allen logisch konsistenten Systemen anders: Solange man die Axiome gelten läßt, lassen sich innerhalb solcher Systeme Beweise führen. In den Naturwissenschaften gibt's aber keine Axiome, sondern nur empirische (d.h. durch Versuche erlangte) Daten-Grundlagen. Und die können sich ändern, wenn man die Versuchsanordnungen z.B. erweitert.

In dieser Diskussion nun behandelte mein Diskussionsgegner die Mathematik ähnlich wie die Naturwissenschaften und behauptete implizit, 2+2 ergäben nur solange 4, bis irgendwann mal der Fall auftauche, wo es plötzlich 5 seien. Dem widersprach ich und behauptete, daß 2+2 bis in alle Ewigkeit 4 ergeben werden, solange an den mathematischen Axiomen nichts verändert wird.

Kurzform: In der Mathematik kann man beweisen, in den Naturwissenschaften kann man üblicherweise lediglich belegen.


@Scybalon: Hehe, das ist witzig: Mein Diskussionsgegner ist Theologe und hat Calvin als Avatar.

 

[Durin]

Hm, auf der in.tum Seite ... beim letzten Punkt gleich "Körper" zu nehmen ist übertrieben, da hat man dann schon die Brüche und die negativen Zahlen, Multiplikation und Division drin und dann kann man sich zurecht fragen, ob es einen Körper überhaubt gibt, wenn 1+1=2 noch gar nicht bewiesen ist. Alles was man braucht ist, dass:

-Als natürliche Zahlen bezeichne man eine unendliche Halbgruppe von Elementen mit der Verknüpfung "+".
-Es gibt ein neutrales Element, genannt "0" und ein weiteres Element genannt "1".

Jetzt muss man beweisen, dass 1+1 ungleich 0 und ungleich 1 ist, dann hat man ein weiteres Element, dass man 2 nennen kann:

...Hm, ich habe dass grade probiert und muss sagen, um das Peano-Axiom kommt man nicht herum, da man auch mit 1+1=0 eine schöne Halbgruppe machen kann... Wenn man allerdings das Peano-Axiom dazu nimmt hat man noch die Ordnung "<" und

1 < 1+1 und 0 < 0+1
Da 0+1 = 1 (Neutralität von 0) folgt
0 < 1+1 (0 ist echt kleiner also ungleich 1+1)

1+1=1 ist jetzt ebenso klar falsch, also ist es etwas anderes, das man guten Gewissens 2 nennen kann.


Interesante mathematische Fingerübung.

 

[David]

Wer sagt denn, daß 1+1=2 sein muß ?
Kann genausogut 0 sein, zumindest, wenn man ein Computer ist.

Ich würde es so erklären:
Das Zählen muß man wahrscheinlich definieren, das die Reihenfolge "1,2,3" ist (oder zB 00 01 10 11 ) kann man glaub ich schwerlich beweisen.
Dann muß man noch definieren, was a+b überhaupt ist, also von a ausgehend b Schritte "weiterzählen".
Das gilt grundsätzlich für alle Zahlensysteme, also auch binär oder hexadezimal. 1+1=2 ist dann nur ein Spezialfall, nämlich der fürs Dezimalsystem.

Man stellt also eine Regel auf, wie man von einer Zahl ausgehend einen Schritt weitergehen kann (Dezimal: Wenn unter 9, eins drauf, wenn 9, dann 0, und die Stelle davor um 1 erhöhen) und noch eine, was "+" bedeutet (x Schritte in diesem Zahlenstrang weitergehen).

Und da man diese Grundlagen so definiert hat, kann mit absoluter Sicherheit nie ein Fall auftreten, wo im Dezimalsystem 1+1 nicht gleich 2 ist.

@Hank:
Was ich interesannt finde, ist, daß man auch in der Naturwissenschaft von einfachen (empirisch belegbaren) Gleichungen ausgehend, das Werkzeug der Mathematik benutzen kann, um daraus Sachen zu berechnen, die man zwar nicht direkt beobachten kann, die aber so sein müssen, wenn die Grundannahmen stimmen. Wenn es also einen Schöpfer gibt, dann ist er wahrscheinlich Mathematiker.
Das gilt im Grunde genommen nichtmal nur für die Naturwissenschaft, auch in der Wirtschaft gibt es ein paar einfache Regeln (zB die Marktgesetze), die sich zwar nicht mathematisch präzise fassen lassen, die sich aber bitter rächen, wenn man sie zu lange ignoriert. (Beispiel DDR)

 

[Hexe Lisa]

@Chinasky: Das ganze hängt wohl hauptsächlich davon ab, ob man das philosphische Weltbild von Popper akzeptiert. Die Diskussion ist wohl genauso sinnvoll, wie die Diskussion aus den verschiedenen Sichtweisen eines Agnostikers und eines Atheisten zwischen einem Alt-Katholiken und einem Buddhisten, woher die Seele eines Neugeborenen kommt.
Wenn man zynisch ist, kann man den Alt-Katholiken und den Buddhisten dann die Diskussion zwschen dem Agnostiker und dem Atheisten über die Existenz einer Seele überhaupt beobachten lassen.
Konkreter werde ich nicht werden, weil ich keine Lust habe über den Philosophen Popper und seine Philosopie zu diskutieren.

Übrigens die Diskussion, ob die Aussage 2+2 =5 im mathematischen Sinne wahr werden kann ist auch ohne Popper sinnlos.

 

[Durin]

@David: Genau davon rede ich ja.

Was muss man alles voraussetzten, damit 1+1 = 2 ist - unabhängig von der Schreibweise der 2. Oder anders: Was muss man voraussetzten damit 1+1 weder 0 noch 1 ist?

Ich habe mir eben beim Straßenbahnfahren den Post oben nochmal durch den Kopf gehen lassen und es ist mir tatsächlich nicht gelungen, eine Verknüpfung auf allen natürlichen Zahlen zu finden, die:
- assoziativ ist [das war (a+b)+c = a+(b+c) ],
- das neutrale Element 0 hat,
- nicht isomoph zu den natürlichen Zahlen mit dem gewöhnlichen "+" ist.

Also wenn kein anderer Mathewissender das beantwortet müsste ich das mal nachschlagen, ob man die Assoziativität und das Peano-Axiom auf den natürlichen Zahlen auseinander folgern kann. Ich wette die Antwort ist "trivial" aber ich komme jetzt nicht drauf.

 

[Alfiriel Shi]

Im Allgemeinen möchte man ja eigentlich die eingangs gestellte Frage schon als Trivial bezeichnen.

Ansonsten finde ich das den besten Punkt bisher David gebracht hat

"Das Zählen muß man wahrscheinlich definieren, das die Reihenfolge "1,2,3" ist (oder zB 00 01 10 11 ) kann man glaub ich schwerlich beweisen.
Dann muß man noch definieren, was a+b überhaupt ist, also von a ausgehend b Schritte "weiterzählen"."

Das ist so in etwa genau das was ich mir auch gedacht habe. Meiner Ansicht nach macht es die ganze Diskussion aber auch relativ sinnfrei da ich in einem von mir im Prinzip frei definierten System, sowieso alles beweisen kann was ich will. Sogesehen kann ich nicht beweisen das 1+1=2 ich kann nur beweisen das 1+1=2 in einem dementsprechend definierten System ist.

 

[Chinasky]

@Durin: Mach mal...

@Hexe Lisa: Selbstverständlich muß man Poppers "philosophisches Weltbild" teilen, wenn man sich auf ihn beruft. In der Wissenschaftstheorie tut man dies, soweit mir bekannt, heutzutage aber meistenteils. Und mein Diskussionsgegner versuchte, eine andere Teilnehmerin dadurch lächerlich zu machen, daß er ihr (tatsächlich nicht ganz korrektes) Verständnis von "Beweis" auseinandernahm. Sie behauptete, es gebe wissenschaftliche Aussagen, die beweisbar seien. Beispielsweise, daß Menschen nicht fliegen können, daß die Erde um die Sonne kreist und daß 2+2=4 seien.

Nun berief sich mein Diskussionsgegner auf die moderne Wissenschaftstheorie, die, laut Popper, eben nicht davon ausgeht, daß sich naturwissenschaftliche Aussagen beweisen lassen. Seine Argumentation lief dann so, daß nur, weil noch niemand einen Menschen habe fliegen sehen, dies noch kein Beweis für die prinzipielle Flugunfähigkeit von Menschen ist, und daß, nur weil noch niemals beim Zusammenzählen von 2 und 2 fünf herausgekommen sei,l 2+2=4 beweisbar ergäben.
Und damit vermischte er die Kategorien, denn ein auf einer (wie groß auch immer) Anzahl von Axiomen beruhendes logisches System ermöglicht es sehr wohl, innerhalb dieser Axiomatik Beweise für Aussagen zu finden. Im Rahmen der Mathematik ist also 2+2=4 eine absolut wahre Aussage, die bewiesen werden kann.

Die Absicht meines Diskussionsgegners war also (meiner Meinung nach) entweder, die Diskutantin zu verwirren, oder er hatte Popper (dessen Weltbild er übrigens gerade ablehnt) nicht verstanden.

Dein Beispiel mit dem Buddhisten und dem Katholiken, die über die Seele eines Neugeborenen streiten, ist insofern passend, als wir da in den jeweiligen Glaubens-Systemen allerdings die Möglichkeit haben, Aussagen zu beweisen und zu widerlegen - solange dies Glaubenssysteme auf einander nicht widersprechenden Axiomen gegründet sind. Wenn dem so wäre, könnte ein Katholik durchaus - innerhalb seines Systems - gültige, d.h. wahre und beweisbare Aussagen über die Seele eines Neugeborenen machen, und der einzige Einwand dagegen bestünde darin, die Axiomatik des Systems abzulehnen mit besseren oder weniger guten Argumenten.

Allerdings hat der Katholik in Form der Theodizee ein weiteres Problem: Seine Axiome widersprechen sich logisch, d.h. sein System ist inkonsistent, sodaß sich in ihm Aussagen weder beweisen, noch widerlegen lassen. Deswegen versuchen Gläubige häufig, sich auf konkrete Erfahrungen mit ihrem Gott zu berufen, suchen also eine Ausflucht in der Arbeitsweise der empirischen Naturwissenschaften. Und da bekommen sie allerdings ein gewaltiges Problem mit Poppers Einsichten.

 

[David]

Menschen können nicht fliegen?
Im All schon.. (von "lebend" war schließlich keine Rede )

Und die Erde kreist nicht um die Sonne, sondern sie bewegt sich auf einer Umlaufbahn, deren Form zwischen mehr kreisförmig und mehr ellipsenförmig schwankt.

Und 2+2=4 gilt nur in Zahlensystemen mit mind. 5 verschiedenen Zahlen (0-4).

Aber ob man nun sagt "Menschen können nicht fliegen" oder das um Einschränkungen ala "nur mit Hilfsmitteln und auf der Erde" erweitert, ist natürlich belanglos, weil alle wissen, was gemeint ist. Ob man nun meint, daß das für immer gelten wird, weil es nie ein Gegenbeispiel geben wird, oder das deshalb gleich als "bewiesen" ansieht ist Wortglauberei ohne praktische Konsequenzen..
Wobei solche abgehobenen Diskussionen ganze Bücher füllen, nach deren Lektüre man genauso schlau ist wie vorher.
Ich muß nur daran denken, wieviele Leute darüber diskutieren, wie man die Geographie definieren und einteilen sollte.

Die Mathematik hat halt den Vorteil, daß sie nicht soviele Sonderfälle (ala genmutierte Menschen mit Flügeln ) beachten muß, sondern immer nur aussagt "wenn meine Definitionen gelten, dann gelten auch meine Schlussfolgerungen". Und das ist definitiv, in allen Zeiten und an allen Orten des Universums gültig.

@Durin:
Mag sein, aber du hast soviele mathematische Begriffe benutzt, das mein Hirn die Notabschaltung vorgeschlagen hat.

 

[Val]

Ich tu mal ohne eine Ahnung zu haben um was es geht und einfach mal mich über das aufregen was Hank da geschrieben hat: Ich finde das ist eine antisoziale oder narzisstische Diskussionshaltung von deinem Diskussionsgegner.

Ich verabscheue ja sowieso Disput um des Disputes Willen, aber Axiome mithilfe von moderner Philosophie in Frage zu stellen, die nur Querverweise auf bestimmte Gedankenpunkte sind, anstatt dass Sie auf sich selbst als Axiom verweisen geht vom eigentlichen Diskussionspunkt weg und ändert die Ebene und den Punkt um den sich die Diskussion dreht. Wenn ein Mathematiker mit einem Bauarbeiter redet, dann ist es doch egal, ob man seine Ansicht mit mathematischen Formeln oder Beobachtungen vom Bau erklärt. Wichtig ist, dass beide sich verstehen.

Dein moderner Philosoph will das Opfer hier wohl nichtmal verstehen. Soll er doch ein Buch schreiben. Ich werds nicht lesen.

Das ist sogar noch dumm obendrein.

Was ist denn das Motiv deines Diskussionsgegners. Rechthaben und Intelligent wirken?

 

[Durin]

Okay, aus der Peano-Eigenschaft folgt Assoziativität und die "natürliche Ordnung" der natürlichen Zahlen, wie wir sie kennen.

Assoziativität alleine ist schwächer. Definieren wir einmal "+" als das Zusammenfassen von Schulden, bei denen jeweils Überweisungskosten von einer Geldeinheit anfallen (solange beide Schuldsummen einzeln jeweils größer als 0 sind). Diese Verküpfung ist abgeschlossen in den natürlichen Zahlen, assoziativ, sogar kommutativ - da hat man eine Halbgruppe die mathematisch jetzt nicht wirklich schlimmer als die normale Addition ist - aber
2+2 = 5 = 1+1+1.

 

[Caesar]

Dazu habe ich gestern Nacht zufällig was passendes im Fernsehn gesehen zum Thema Mathe. Da wurde auch das Thema Beweise angesprochen. In den Naturwissenschaften kann man in der Tat nichts beweisen, es sind alles Beobachtungen und Theorien die die Beobachtungen möglichst gut beschreiben.
In der Mathematik kann man natürlich sehr wohl etwas beweisen, daher ist es auch eine Geistes und keine Naturwissenschaft (bzw eine Strukturwissenschaft).
Natürlich Beruht die gesamte Mathematik auf einer gewissen Anzahl von Axiomen, aber sie ist in sich logisch und beweisbar. Und da Mathematiker komische Menschen sind haben sie für alles, selbst für 1+1=2 einen Beweis. Und wenn sie keinen beweis haben gibts ein Axiom
Mathe ist total super, wie gerne könnte ich es

 

[Hexe Lisa]

...man sollte schon die Naturwissenschaften zugestehen, dass nicht nur aus Beobachtungen Theorien aufgebaut werden, sondern theoretisch wissenschaftliche Erklärungen schon vor der Möglichkeit des Experiments fundiert hergeleitet waren: superfluide, superkonduktive und quantenmechanische Vorgänge wurden lange vorher bewiesen, bevor sie experimentell möglich waren.

Übrigens unterscheidet Popper mit seiner Philosophie nicht Empirie und Axiom, sondern Pseusowissenschaft (Metaphysik) und induktive Wissenschaft. Allerdings ist seine Definition einer Theorie viel zu weit, d.h. eine wissenschaftliche Theorie muss fundiert sein, d.h. vereinfacht gesagt von Naturgesetzen und Axiomen abgeleitet sein.

Zu 1+1=2:
Dies gilt wirklich nur und ausschließlich mathematisch, alleine 1 Apfel und 1 Apfel können auch einen Teller voll Apfelmuss ergeben.

Selbst die Geometrie trifft es nicht, wenn man nicht exaxt definiert: Wenn man sich Punkt A 1 Meter zu Punkt B bewegt und dann weiter 1 Meter zu Punkt C ist man zwangsläufig nicht 2 Meter von Punkt A entfernt.

Naturwissenschaften müssen die Systeme genauso exakt defnieren, wie die Theorien und Gesetze die diese beschreiben. In der Thermodynamik kann man theoretische adiabische, isotherme, isochore u.a. Systeme defnieren, dafür die Gesetzmäßigkeiten ableiten. Diese waren Grundlage zum Bau der Dampfmaschine und aller Verbrennungsmotoren. Ohne exaktes fundiertes Wissen und nur durch Beobachtung wäre dies nicht möglich gewesen.
Die Mathematik hat den Vorteil, dass ihre Systeme exakt definiert sind. RL-Systeme hingegen sind im Grunde nicht beschreibbar, man kann im Grunde nur mehr oder weniger komplexe Modelle defnieren und für diese dann entsprechend mathematisch vorgehen.

Viele wissenschaftliche Erkenntnisse (*) waren schon bei der Beobachtung bzw. der Möglichkeit der Beobachtung wissenschaftlich fundiert - vom leichten zum schweren - Neutrinos und schwarze Löcher.

Empirische Wissenschaft die auf Induktion beruht sind eher nicht der Bestandteil der Quantenmechanik, der theoretischen Physik und Chemie.

mfg